更新时间:2016-10-30

极限空间:数学：规律与方法的游戏

《费马的房间》
电影相当不错，尽管看起来就是趣味数学题汇编。但是它充分展现了关于数学精彩和迷人，而且故事也编排得比较紧凑。大意是一位富有的数学家，花了近35年证明哥德巴赫猜想，就在他即将完成时，一个小伙子居然向媒体宣布证明了哥德巴赫猜想。然后过几天，小伙子又说他的证明被闯入的人毁掉了。其实，小伙子根本就没有证明出来，只是为了追求一个高智商女孩子撒的谎，但是说着说着，媒体逼着“交卷”，他只好趁有人进宿舍搞破坏，声称证明被破坏了。现在数学家终于成功了，但是因为数学界对于“第一个”地位的尊敬，使得除非小伙子坦白（这不大可能），否则数学家的成就一辈子也出不了头，即使小伙子再花上三年才交卷，数学家还是第二。所以，气愤之下，数学家设局，要杀死小伙子。而且还设计了所谓的“数学难题”邀请其他人来陪绑，目的就是为了测试小伙子的数学能力。而且为了掩盖自己杀人的事实，还故布疑阵，制造了另一个人来充当“主人”。而且一早就设计好，引诱主人出门，然后把他杀死（在汽车安全带里藏毒气）。利用另一个参与人与主人的“仇恨”（参与人开车撞伤了主人的女儿，只是两人还没有见过面），让大家以为自己是个被牵扯进来的无辜者。当然，机关算尽，却忽略了一个问题，大家都是聪明人，而三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢。所以最终他的阴谋被发现了，自己反而抱着证明死在房间里。另外三个人成功地通过他提前设计的逃脱口离开。电影妙就妙在一个“关联”，似乎七不搭八的人，其实都存在关联，都存在矛盾。而数学家眼里，抽象的数学有着关联（就像片中展示的哥德巴赫猜想：1742年数学家克里斯丁•哥德巴赫发现一个偶数能够被表述为两个素数的和。如果以较小的偶数来看那再容易不过了：18，偶数，等于7+11，7和11都是素数；24等于5+19 , 5和19都是素数；50等于13+37，等等。即使再大的数也可以如法炮制，让我们试试，任何数，7112等于5119加1993，都是素数。但是你却不能用所有的偶数来试，因为数字是无穷的，得找到一条对所有数都适用的定律，发现这条定律则成为数学史上最难的课题），同样现实的万事万物也一样。所以，利用着A是自己竞争敌人，B是A的女友，也是自己带坏了的姑娘，C是自己引入的替死鬼，C还以为数学家帮自己杀死仇人D呢。他就制造了一次谋杀。当然，编剧还是有不少漏洞，数学家一开始就向自己的医生朋友展示那张邀请信，他根本就不需要向朋友展示。因为发出邀请的人本来就是他自己。就算他要朋友证明自己只是参与者，不是发起者，不是杀人凶手，警察也可以查邀请信发出的源头，通过信纸油墨等证据去调查。何况警察也可以通过购买液压机的主人，抓住他。当大家在一开始发现所谓的邀请是个陷阱时，都知道各人的“代号”所指的数学家寿命刚好是自己的年龄，那时候居然忽略了数学家的“代称”——希尔伯特很长寿，高过了其年龄。更重要的是数学家给自己留了后路，但是很明显他年纪最大，不可能当着大家的面砸开黑板逃了出去。还有，那对小年轻，明明还没有摆脱“分手”危机，然后数学家进门就看到他们要亲上嘴了。
当然，故事再妙，我觉得还是那些数学问题妙。虽然为了适合大众，题目不能太艰深。但是这些题目很明显是精挑细选的，所以都很有启发性。甚至可以说，它们既反映出展现出数学的本质，又演示了很多数学思维的方法。
数学的本质就是发现规律。正如邀请信中的题目，是一列数字5 4 2 9 8 6 7 3 1，要求找出它们的规律。看起来容易就几个阿拉伯数字，但其实非常难。不过答案告诉我们是按字母表排序，换言之，就相当于不是数字本身，而是按照数字的发音来排序。因为影片是西班牙电影，所以还是以西班牙语字幕发音来排序(西班牙语，从0到10：cero，uno，dos，tres，cuatro，cinco，seis，siete，ocho，nueve，diez）。这样的问题，再天才的数学家，如果不懂西班牙语还真无从入手。不过现在中国很多小学生的“奥数”题，也会玩这一套，拿汉语拼音排序来排数字。为什么说，这样一道题展示了数学的本质呢？因为看起来没有规律，实际上存在着规律。而我们发现规律有无数种途径，当我们找不到途径时，我们会觉得没有规律。聪明人，天才，都是比较擅长发现规律，会运用一些不同的思维方式，或者从不同角度。
片中还有一个非常富有启发性的问题，让我们对数学应用有更深入的了解。这是一个破解密码的问题。题目是一个由0和1构成的大型数列（0000000000000000111111111000……）。要求破解这个数列表达的内容。这个问题看起来简直就是天方夜谭，因为我们不知道密码，而0和1是没有规律的排列。但是小伙子找到一套麻将，利用其两面来代表0和1。当然还有一个关键，就是这个数列总共有169个数字。而这个数字是13的平方。于是小伙子用麻将排成13乘13的方阵，这样0和1，正面和反面就清楚地展示出了对于我们而言非常清晰的符号：一个骷髅头。之所以说这个问题精妙，是因为首先我们用数学解决问题，往往要将问题直观化，与现实物质“形象”联系起来，这是理查•费曼的观念。也是拙作《绝对理性》一书中说明过的牛顿、爱因斯坦解决问题的关键艺术——化抽象为形象，化形象为抽象。其次一个看起来毫无头绪的事物，其隐藏的规律必须从其特征入手，了解其特征，必须尽量地了解研究对象。掌握的特征越充分，了解的细节越多，可以掌握的突破口才多。如果忽略了数列有169个数字，是13的平方。那么用麻将正反面去排列，还是有很多的可能，这样太花时间了（何况除了条形横列、长方形、正方形方阵之外，还可能是等腰三角形、圆形等其他形状的排列方式）。我们必须尽量减少可能性。最后，就像小伙子开始认为拼出来的是张人脸，但错了，小姑娘仔细看才指出是骷髅头。我们还会发现一个问题，答案本身还有不同的解读。
当然，数学又是可以针对现实问题的。我们现实要解决种种问题，需要什么呢？本质上就是找到联系，而具体的就复杂得多：一、我们必须充分掌握条件才能利用关联；二、我们我们必须明确流程，步骤清楚，因为先后不同结果就不同了；三、我们必须找到一个突破口（可能现实存在很多，但是一般一个就够），突破口往往就是常识；四、在没有现成的突破口时，必须自己制造一个突破口切入问题，充分体现解决问题人的能动性。
下面我们就结合片中的问题来说明这些要点（为了整理清楚，我对片中的问题重新做了排序）。
问题1：
一个学生问老师：你女儿们多大了？老师回答：把她们的年龄相乘，结果是36；如果相加，结果是你家门牌号。学生说：还差一个条件。老师回答说：确实，最大的女儿会弹钢琴。问这三个小孩多少岁？
这个问题影片没有给出思考过程，只给出了答案。我们可以自己计算。首先，按照第一个条件，我们可以计算出以下几种可能（3个女儿，岁数相乘得到36）1*1*36，1*2*18，1*3*12，1*4*9，1*6*6，2*2*9，2*3*6，3*3*4。其次，按照第二个条件，相加等于门牌号，这个条件是学生知道的，但是他算了之后却说“还差一个条件”，说明其中至少有两组可能的和相同，以至于他没有办法得到答案。其中有1+6+6，2+2+9两组可能的和同为13，所以我们可以排除其他组可能。最后，老师说“最大的女儿会弹钢琴”，很明显只有2+2+9一组出现“一个大女儿”。所以答案是大女儿9岁，还有一对2岁的双胞胎。很明显，容易误导我们的是那个“我们不知道的门牌号”，但是其实这个缺漏，恰好就是条件，换言之我们看待缺失的条件，往往忽略了这恰好也是一个条件。就像爱因斯坦考虑“不对头”的条件，不必要把它们排除在外，它们恰好是关键。
问题2：
牧羊人必须用一条船过河，他带了一只羊，一只狼和一颗卷心菜。你知道？船每次只能载两样东西，比如，牧羊人和羊，或者牧羊人和那颗卷心菜……你必须想出牧羊人该怎么过河，才能不能让狼吃羊或是羊吃菜。
这个问题影片并没有提供答案，因为大家反对这样不现实的问题，因为“牧羊人不可能带狼”。我们先来看答案：第一次带羊过河，空船回来。第二次带狼过河，带羊回来；第三次带卷心菜过河，空船回来；第四次带羊过河。共需4次。这个问题看起来不现实，但明显是把大象放进冰箱需要几个步骤之类问题的升级版。因为，现实中我们处理问题经常会碰到这样的困难，必须靠合理安排流程来避免矛盾。
问题3：
一个糖果商人收到3个不透明的糖果盒子：一个盒子里面是薄荷糖，另一个装的是茴香糖，剩下的一个两种都有。盒子上标注有薄荷，茴香或者混合，但是糖果商被告知所有的标签都是错的。这个人要如何取出最少的糖来核实盒子里装的是什么？
这道题，不仅有答案还有分析：你只用从那个混合盒子里面拿一个就好了，因为那个盒子不可能是混合的盒子。如果拿出来的是薄荷，那么写这混合的就是薄荷。这样一来，剩下的两个盒子，写着薄荷的盒子就是茴香（它不可能是薄荷），写着茴香的就是混合（它不可能是茴香也不可能是薄荷）。很明显，只要充分运用条件，找到突破口就行了。何况这里突破口就是条件“标签全错了”。
问题4：
在一个密不透风的房间里有个灯泡（暗示不能透过门缝去窥探里面是否光亮），房间外有三个开关，只有一个能打开灯泡，然而门是紧锁的。开关可以任意开或关，当你开门时，你得说出哪个开关点亮了灯泡。
这看起来是没有办法解决的难题，似乎完全要靠运气。但是，因为这时候有个人被灯烫伤了。启示了小姑娘，她利用了灯泡会发烫找到了答案：诀窍就在灯泡的温度！我们打开关1，持续一段时间，再关掉它；打开开关2，开门，如果灯泡亮了，2就是正确的开关；如果灯泡熄了并且是热的，那么先前那个开关，也就是1是正确开关；如果灯泡熄了但是冷的，说明3是正确开关。很明显是常识起到了作用。现实中解决问题，往往需要用到一些知识积累，甚至是一些常识。因为涉及的知识可能很多，无从入手，所以很多科学家总是依赖自身成长的条件，专业的训练，甚至外界的提示（比如理查•费曼受到飞盘的提示，还有那个牛顿被苹果砸到的传说）。后面一个问题：妈妈比儿子大21岁，6年后妈妈的年纪是儿子的5倍，问爸爸现在在哪里？很明显计算起来不难，5*（6+X）=21+X+6，X=-3/4。但是不说儿子的年龄是负数，就说儿子的岁数跟爸爸现在在哪里也没有关系啊。其实问题和灯泡问题一样，事关常识“九月怀胎”，3/4年就是9个月，说明爸爸一定跟妈妈在一起造人。
问题5
在谎言岛里，所有的人总是撒谎；在真相岛里，所有人都说真话。一个外国人被诱骗到一个有两扇门的房间，一扇门通向自由，另一个却什么都没有。两扇门分别由一位来自谎言岛的看门人和一位来自真相岛看门人把守，要想找到通向自由的那扇门，外国人只能向其中一个看门人问一个问题。但他并不知道哪位是来自谎言岛，哪位来自真相岛，他得问怎样的问题？
这个问题有很多变形，以至于大家都有似曾相识的感觉。其实答案也不复杂，你该问其中一人：另一人会告诉我哪扇门通往自由？因为他们都会说错误的那扇门，选择相反的一扇就是正确答案。具体地解释是这样的，比如说正确的门是A，错误的是B。因为谎言岛的人，知道诚实岛的人会指A，所以说谎指着B；而诚实岛的人知道谎言岛的人会说谎，会指向B，所以也指向B。很明显，这里是制造了一个问题，来使得矛盾相互“抵消”。因为数学的答案，基于一个“不矛盾”的基础。这样的思维，看起来简单，其实就是哥德尔得出“不完全性定理”的关键方法。这个问题，其实在片中还有一个案例，就是小伙子想通过寄出邀请的邮箱调查邀请大家的主人是谁。他知道要寄回答案的地址是325邮箱。而邮局是不会告诉你邮箱的主人是谁，因为涉及保密协议。他的策略是这样的：我去了邮局声称自己是保护棕熊协会的主席，我说咱们山里仅幸存325头棕熊了。我们希望邮箱号是个有代表性的数字，职员说325邮箱己经有主了，我则坚持说那个邮箱号对我们是何等的重要，以及仅存的325头棕熊会何等的感激。这样他就骗到了邮箱主人的名字。因为他不直接去要邮箱主人的名字，这让邮局的人忽略了他的真正目的；而同情心让邮局的人又希望他能够得到325邮箱。矛盾送给了邮局的人，这样他就会告诉小伙子邮箱的主人，让小伙子自己去找他争取要到邮箱。而且还给棕熊捐了款。
这种解决是创造性的，也是积极主动的，也是现实中经常存在的问题。
当然，现实中还有其他的问题，就像片中假主人费马谈到的：我最近读到一份关于人类最普遍的不可达成愿望的研究报告，有关飞天或隐身，而不是解决数学谜题的。你选择飞天或者隐身，展现的更多是自身人性的抉择。就像我们具体采用什么方法去解决问题，这个其实才是更真实更有意义的。就像数学家不是想方设法杀死小伙子。而是邀请他，跟他面对面的对话，可能更完美地解决了问题。但是很明显数学家极端的性格，造成了他的错误选择，因为他一开始想到的是“自杀”，然后又想到了“谋杀”。
电影真正精彩的地方就在这里。这才是我们最应该记住的。16.10.30